高中数学导数。知识点总结
一. 导数概念的引入
1. 导数的物理意义：
瞬时速率。一般的，函数y=f(x)在x=
处的瞬时变化率是
2. 导数的几何意义：
曲线的切线，当点
趋近于P时，直线 PT 与曲线相切。容易知道，割线的斜率是
当点
趋近于 P 时，函数y=f(x)在x=处的导数就是切线PT的斜率k，即
3. 导函数：
当x变化时，
便是x的一个函数，我们称它为f（x）的导函数. y=f（x）的导函数有时也记作
，即
。
二. 导数的计算
基本初等函数的导数公式：
导数的运算法则：
复合函数求导 ：
y=f(u)和u=g(x)，则称y可以表示成为x的函数，即y=f(g(x))为一个复合函数。
三、导数在研究函数中的应用
1. 函数的单调性与导数：
一般的，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间（a,b）内
(1) 如果＞0，那么函数y=f(x)在这个区间单调递增；
(2) 如果＜0，那么函数y=f(x)在这个区间单调递减；
2. 函数的极值与导数：
极值反映的是函数在某一点附近的大小情况。
求函数y=f(x)的极值的方法有：
（1）如果在
附近的左侧＞0 ，右侧＜0，那么
是极大值；
（2）如果在附近的左侧＜0 ，右侧＞0，那么是极小值；
3. 函数的最大(小)值与导数：
求函数y=f(x)在［a,b］上的最大值与最小值的步骤：
（1）求函数y=f(x)在［a,b］内的极值；
（2） 将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的是最大值，最小的是最小值。
四. 推理与证明
（1）合情推理与类比推理
根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理,归纳是从特殊到一般的过程，它属于合情推理。
根据两类不同事物之间具有某些类似（或一致）性，推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理，叫做类比推理。
类比推理的一般步骤：
(1) 找出两类事物的相似性或一致性；
(2) 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题（猜想）；
(3) 一般的，事物之间的各个性质并不是孤立存在的,而是相互制约的.如果两个事物在某些性质上相同或相似，那么他们在另一写性质上也可能相同或类似,类比的结论可能是真的；
(4) 一般情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的命题越可靠。
（2）演绎推理（俗称三段论）
由一般性的命题推出特殊命题的过程,这种推理称为演绎推理。
（3）数学归纳法
1. 它是一个递推的数学论证方法。
2. 步骤：
A. 命题在 n=1（或
）时成立，这是递推的基础；
B.假设在 n=k 时命题成立；
C. 证明 n=k+1 时命题也成立。
完成这两步，就可以断定对任何自然数（或n≥，且n∈N）结论都成立。
证明方法：1、 反证法；2、分析法；3、综合法；
解题技巧
热点考向一 导数在方程中的应用
[典例1]
已知函数f(x)＝x2－(a＋4)x－2a2＋5a＋3(a∈R)．
(1)当a＝3时，求函数f(x)的零点；
(2)若方程f(x)＝0的两个实数根都在区间(－1，3)上，求实数a的取值范围．
[方法规律]
利用导数解决函数零点(方程的根)问题的主要方法
(1)利用导数研究函数的单调性和极值，通过对极值正负的讨论研究根的问题；
(2)利用数形结合研究方程的根；
(3)利用导数结合零点定理研究根的存在问题；
(4)转化为不等式或最值问题解决函数零点问题.
热点考向二导数在不等式中的应用
[方法规律]
利用导数解决不等式问题的类型
(1)不等式恒成立：基本思路就是转化为求函数的最值或函数值域的端点值问题．
(2)比较两个数的大小：一般的思路是把两个函数作差后构造一个新函数，通过研究这个函数的函数值与零的大小确定所比较的两个数的大小．
(3)证明不等式：对于只含有一个变量的不等式都可以通过构造函数，然后利用函数的单调性和极值解决．
–END–
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