高中数学教学案例分析(高中数学教学正态分布案例分析)

高中数学教学案例。周龙虎(湖北省华中科技大学附属中学)

杨 宇(湖北省华中科技大学附属中学)

摘要：如何有效的将信息技术与数学教学深度整合，是许多一线教师思索的课题.以高中正态分布教学为例，讨论如何体现信息技术与数学教学的整合，即在知识回顾时，利用ppt图文并茂的优势，简洁而有效；在呈现正态分布的实例时，利用计算机模拟，创设了良好的教学情境，激发学生兴趣，积极探索新知；在探究参数时，利用几何画板软件的图形变换功能，化抽象为直观，为学生思考问题牵线搭桥，从而使学生在自我总结中深化理解并获得成就感等.

关键词：信息技术；数学教学；正态分布；深度整合

一、教学过程再现

教学片断1：回顾总体密度曲线。

回顾人教A版教材必修3“统计学”中处理100户居民用水量数据的步骤与方法（如表1，图1~图3所示）。

图示总体密度曲线的特征、意义与性质如下。

形状特征：两头低、中间高、左右对称的曲线（钟形曲线）。

意义：反映了连续型随机变量在各个取值范围内的概率（每个小矩形的面积）。

性质：（1）非负性：曲线位于x轴的上方；

（2）定值性：曲线与x轴围成的面积为1，即概率之和为1；

师：这些总体密度曲线中，你觉得哪种密度曲线比较美呢？

生：钟形曲线。

师：那么，我们今天就来研究这种中间高，两头低，左右对称（钟形曲线）比较美的一类总体密度曲线。具有这种形状特点的总体密度曲线，我们称之为正态分布密度曲线，简称正态曲线.

【设计意图】教学片断1的回顾，易使学生认为总体密度曲线都是“中间高，两边低，左右对称”的特点，而加入教学片断2的情境创设，可使学生在直观且形象的图形观察中，很好地总结出总体密度曲线和正态曲线的联系与区别.

此时信息技术对图象准确及多样的展示作用，是传统教学模式无可比拟的.

教学片断3：模拟高尔顿板试验。

图5是应用电脑模拟高尔顿板实验的示意图.在一块木板上订着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.让小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.为了更好地考察随着试验次数的增多，落在各个球槽内的小球分布情况，我们以球槽的编号为横坐标，以小球落在各个球槽内的频率值为纵坐标，可以画出频率分布直方图.随着重复次数的增加，这个频率直方图的形状会越来越像一条钟形曲线.

【设计意图】在数学教学中，尤其是与几何图象相关的数学内容，几何画板软件是数学教师的好帮手.其操作简便，对图形的变换与构造，动画效果，追踪轨迹，数形结合等功能都很出色.运用几何画板软件，利用控制变量法研究两个参数分别对正态曲线图象的影响恰到好处.学生通过观察图6，得出在

不变的情况下，随着

值变大，图象沿x轴正方向移动；学生通过观察图7，得出在

值不变的情况下，随着

的增大，图象由“高瘦”变得“矮胖”.

信息技术不仅使知识直观化，还能让学生体会变换过程，通过观察图形变换，学生自己就能得出结论，较教材上观察固定图形要更自然、生动.

二、几点思考

1.教学定位的把握

就笔者所了解的情况来看，相当一部分一线教师对于正态分布的教学未引起足够的重视，究其根本原因是笃信高考的“风向标”没有指向这里.归根结底是对教学定位出了问题.教师对于教学的定位不仅反映的是对某一内容怎么教的问题，更反映的是一种对知识传播及思想深化的态度.数学教学定位应考量教材的编排意图、学生的认知接受水平以及“四基”和“四能”.正态分布是高中数学教材中唯一一个对连续性随机变量分析的内容，与离散型变量的随机分布相比，更有现实意义.生活中有若干个相互独立的偶然因素作用而成的模型大量存在，都呈现中间高，两边低（中间层次占大体部分，依次向两边递减）的分布状况，因而这个内容是极好的生活中处处皆数学的典例.正态分布作为一种普遍化的随机分布，抓住了随机事件发生的不确定性及频率的稳定性，对培养随机思想及模型思想尤显重要.学生对正态分布是存在理解障碍的。主要体现如下：（1）一般地，生活中大量数据呈现的一般规律难用函数解析式刻画，没有既得经验.指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等函数的学习都有一个完整的学习体系，由定义或运算出发，建构概念，得出函数解析式，剖析图象及性质，而呈现给学生的正态分布密度函数既没有源头，又不知流向何方，难免对它不待见；（2）以前学习过的函数解析式都是单参数解析式，而正态分布密度函数解析式中含

两个参数.因而，教师应对正态分布的教学做深刻的教材分析和入微的学情分析，立足于此，才能凸显正态分布引入的自然及好懂。

2.信息技术的使用

借助几何画板软件及ppt等信息技术，实现了总体密度曲线的呈现、高尔顿板试验的模拟、对正态分布两个参数的分析等教学任务，使学生在理解难点问题时，有直观的图象与动态的图象对照分析，生动而具体.由于课堂时间的有限性，教学过程的紧凑性，还有一些想法没有实现，略显遗憾.笔者设想，在研究正态曲线的解析式时，学生们能够通过观察，由图象的对称性与增长性模式，想到其解析式是二次函数与指数函数的复合形式，进而在几何画板软件里输入猜测的函数解析式，得到相应的图形.学生在一段时间的尝试中，有可能通过不断修正，与同学合作的模式中，自己得到与正态曲线接近的解析式，那将是激发学生探索数学的过程。这样就搭建了学生自主求证及研究的技术平台，学生就能真正把所想通过所为付诸实践，获得成就感.但我们要清醒地认识到技术到来后产生的技术依赖，用固化的思维去再现技术解决其他问题往往不奏效，而且高考也不允许.信息技术若一味简单呈现，表象上虽然丰富，但内在理解不会深刻，无法做到理解技术以及理解数学。几何画板软件提供了技术，实质上提供的是使科学严谨的研究方式得以进行的可能性.正态分布的教学从不太精确的形到不太精确的数，再到精确的数，最后到精确的形及应用，是一个不太容易的过程.本着科学及严谨的研究精神，从定性到定量，其中的重要性、合理性及简捷性等要素发挥了极大的作用.生活中有大量的连续性随机分布的例子。学生自主思考，找到影响曲线的关键要素（均值和方差）并将指数型函数与二次型函数复合，模拟正态密度函数，显得很合理。学生结合正态分布密度曲线特点进行与正态分布有关的概率计算问题，显得很简捷.

实际上，信息技术与数学教学有效整合的现状并不乐观，就是由于学生未能在信息平台上掌握数学学习的本领。因而，要实现有效整合到深度整合过渡，就必须围绕基于信息技术的教学设计能否突出数学问题的本质展开。故建议学生在学习导航的基础上，通过自主设计及调整方案达到学习目标，进而感受统计不确定思想，从而深化样本思想.

3.数学素养的提升

数学素养是学生在数学学习过程中所形成的数学感觉、数学思维及数学情感.而在中学学段衡量数学素养高低的标准仍是用数学的意识和能力.要先有感觉，再形成意识，最后还要在实际应用中有所收获.除了专业的数学软件，就连一些常用的办公软件也为我们很多纸笔难以操作的问题创设了平台，可见基础夯实的重要性.尽管现在国家基础教育云平台正在建设之中，但利用计算机辅助技术进行数学全程探究、题组练习与机评还处在起步阶段.数学课堂完全技术化，不仅要求学生掌握必备的数学知识与方法，更要求学生能将这种模糊的能力转化为确定的能指导数学软件操作（基本操作及优化操作）的能力.因而，早一点给学生提供数学信息技术的平台，学生用数学的意识就更强烈，利用数学推理进行数学交流的时间就越长。

总而言之，信息技术介入数学教育教学领域已成现实，但作为教育工作者，无论介入的深或浅，我们都应充分挖掘数学教学素材的信息价值，真正以整合达到相长的目的.

参考文献：

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[3] 张卫明. 现代信息技术与数学课程有效整合的现状及建议[J]. 中国数学教育（高中版），2011（4）:18-20.

[4] 薛红霞，赵海涌. 信息技术助力，探求数学本质：以“样本的频率分布估计总体分布”[J]. 中国数学教育（高中版），2012（9）:8-11.