一元二次方程求根公式(一元二次方程的根与判别式)

一元二次方程求根公式，一元二次方程是高中数学中的重要概念，也是解决实际问题时常常遇到的一种数学工具。求解一元二次方程的根可以帮助我们确定方程的解集，并解决各种与二次函数相关的问题。

一元二次方程求根公式

首先，我们先来回顾一下一元二次方程的一般形式：

ax² + bx + c = 0

其中，a、b、c为已知系数，且a ≠ 0。为了方便求解，我们引入一个重要的参数，称为判别式，用Δ(Delta)表示，它的计算公式是：

Δ = b² – 4ac

接下来，我们来讨论一元二次方程的根情况：

1. 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实根。这时，我们可以使用求根公式来求解根的数值，该公式如下：

x₁ = (-b + √Δ) / 2a

x₂ = (-b – √Δ) / 2a

举个例子，假设有一个一元二次方程：x² – 4x + 3 = 0，我们可以先计算出判别式Δ的值：Δ = (-4)² – 4 * 1 * 3 = 16 – 12 = 4。由于Δ > 0，所以这个方程有两个不相等的实根。

然后，我们可以代入求根公式，计算出具体的根的数值：

x₁ = (-(-4) + √4) / 2 * 1 = (4 + 2) / 2 = 6 / 2 = 3

x₂ = (-(-4) – √4) / 2 * 1 = (4 – 2) / 2 = 2 / 2 = 1

因此，这个方程的两个实根分别为3和1。

2. 当Δ = 0时，方程有两个相等的实根，也就是说方程的解是重合的。依然可以使用求根公式，但是由于Δ = 0，所以计算过程中会出现求根数值相同的情况。

例如，考虑方程：x² – 2x + 1 = 0，计算判别式Δ的值：Δ = (-2)² – 4 * 1 * 1 = 4 – 4 = 0。由于Δ = 0，所以这个方程有两个相等的实根。

根据求根公式，我们可以计算出具体的根的数值：

x₁ = (-(-2) + √0) / 2 * 1 = (2 + 0) / 2 = 2 / 2 = 1

x₂ = (-(-2) – √0) / 2 * 1 = (2 – 0) / 2 = 2 / 2 = 1

因此，这个方程的两个实根都是1。

3. 当Δ < 0时，方程没有实根，解集为空。这种情况下，我们无法求出方程的根的数值，只能通过图像分析方程。

例如，考虑方程：x² + 1 = 0，计算判别式Δ的值：Δ = 0² – 4 * 1 * 1 = 0 – 4 = -4。由于Δ < 0，所以这个方程没有实根。

总结一下：

一元二次方程的根的数量和判别式Δ之间的关系如下：

1. 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实根；

2. 当Δ = 0时，方程有两个相等的实根；

3. 当Δ < 0时，方程没有实根。

通过求解一元二次方程的根，我们可以解决很多实际问题，例如：

1. 求解物体自由落体的高度；

2. 求解最优化问题中的极值点；

一元二次方程求根公式，3. 分析物理学中的弹簧振动问题等。