怎么认识三角形内切圆圆心

1、△abc的内心为i，内切圆与三边切于d、e、f，那么：ae=af，bd=bf，cd=ce

2、设三角形的三边程度分别是a、b、c，那么：bd=bf=(a+c-b)/2

3、线段的比例：bd:cd=(a+c-b):(a+b-c)=cot(b/2):cot(c/2)进而，得到一个三角恒等式：(sina+sinc-sinb):(sina+sinb-sinc)=cot(b/2):cot(c/2)

4、设p是bc的中点，d关于p的对称点是d1，那么：ab+bd1=ac+cd1也就是说，ad1平分△abc的周长。

5、设q是ba中点，r是ab中点；

用上面的方法，同样可以构造出△abc的周长平分线be1和cf1。

6、三角形的三条周长平分线共点，这个点称为△abc的界心，标记为j。

7、设g为△abc的重心，那么，i、g、j三点共线，且jg=2*ig。

8、由此可知，△abc和△pqr关于g透视对应，对应关系是：a、b、c对应p、q、r，i对应j，直线aj对应直线pi。所以，直线pi是△pqr的周长平分线。

9、设pi与qr交于t，那么：a、t、d共线。

10、s(bci):s(cai):s(abi)=a:b:c=sina:sinb:sinc这样可以求出i相对于△abc的重心坐标是(sina:sinb:sinc)。

11、直角三角形的内心：△bac中，ak⊥bc于k，i、m、n分别是△abc、abk、ack的内心，id⊥bc于d，ak交pq于t。

求证：四边形dntm是正方形。

12、设△abc的三边长分别是a、b、c，那么，容易算出：bm:mq=pn:nc=pt:tq=(a*c+c^2):(a*b+b^2)

bd:dc=(a+c-b):(a+b-c)

要证明dntm是正方形，可以先间接证明：

dn//mt//bp

dm//nt//cq

这就需要证明(a+c-b):(a+b-c)=(a*c+c^2):(a*b+b^2)

因为a^2=b^2+c^2，所以容易证明上式成立。

再证明dm=dn。

因为dm=bd*cq/bc，dn=cd*bp/bc，

所以，转而证明：bd:bp=cd:cq

而这一点是比较容易的了。

扩展阅读

三角形的几个心的性质

1、三角形的重心、垂心、外心、旁心、内心的性质：

2、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2比1。重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

3、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数。以重心为起点，以三角形三顶点为终点的三条向量之和等于零向量。垂心为三条高的交点内心为三条角平分线交点，到三边距离相等，为三角形内接圆圆心。

4、垂心分每条高线的两部分乘积相等三角形内切圆的圆心，叫做三角形的内心。三角形的三条内角平分线交于一点。该点即为三角形的内心。内心到三角形三边距离相等。三角形的旁切圆的圆心，叫做三角形的旁心。旁心到三边的距离相等。外心为三条中垂线交点，到三个顶点距离相等，为三角形外接圆圆心。任意三角形外心，内心，垂心三心共线，且外心到重心距离为重心到垂心距离的一半。

三角形同底等高定理

1、同底等高的所有三角形，它们的形状不一定相同，它的形状可以是一个钝角三角形和一个直角三角形，或者一个钝角三角形和一个锐角三角形，或者一个锐角三角形和一个直角三角形。

2、因为两个三角形的底相等，高也相等，根据三角形的面积公式等于1/2底×高，可得二者的面积是相等的。

直角三角形的斜边怎么算

1、直角三角形满足勾股定理，即在平面上的一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方，其数学表达式为a2+b2=c2。所以直角三角形的斜边计算公式为c=√（a2+b2）。例如，一个直角三角形的两条直角边的长度分别为3厘米和4厘米，那么斜边的长度c=√(32+42)厘米=5厘米。

2、而且，在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半，即斜边是30°锐角所对的直角边的两倍。